浅谈高中数学空间距离专题讲授方法

时间:2013-06-15来源:易品网点击: 次

【论文摘要】空间距离是立体几何的重要内容，常常在考试中出现，该种题目的难度一般在中等难度之上，在解题时常常需要与其他的证明现结合，因此，空间距离的教学效果对于数学教学效果有着直接的影响。本文主要探讨通过对例题的分析来探讨高中数学空间距离专题讲授方法。

【关键词】高中数学；空间距离；专题讲授方法

空间距离是立体几何的重要内容，常常在考试中出现，该种题目的难度一般在中等难度之上，在解题时常常需要与其他的证明现结合，因此，空间距离的教学效果对于数学教学效果有着直接的影响。本文以《空间距离》为例，探讨高中数学空间距离的专题讲授方法。

1 教学目标的确定
　　空间距离的教学目标包括以下几个方面：首先，传授距离的概念，培养学生的分析能力、转化能力、空间想象能力和观察能力；其次，培养学生的立体感，提高学生学习立体几何的兴趣，同时，要精心的设计练习题，帮助学生对空间距离的知识进行梳理，并将学到的知识融合到自身的数学知识体系之中。

2 教学方法的设计
　　空间距离的内容较多，包括点与点之间的距离、点与线之间的距离、点与面之间的距离、平行线之间的距离、异面直线之间的距离、平面中平行线与平面之间的距离、两个平行平面的距离。在以上几种内容之中，点与面之间距离的求解是教学中的重点，异面之间直线距离的求解是教学中的难点，以下就以几道题目为例，探讨空间距离的求解方式。
　　例1 如图1 ，ABCD为空间四边形，AB=AC=BC=CD=BD=a，其中，E、F为AB和CD的中点。求AB到CD间的距离，证明EF是AB和CD的公垂线。
　　图1
　　解答：连接AF、BF，可知AF=BF，由于AE=BE，因此，FE⊥AB交AB与点E，同理，EF⊥DC交DC于F，因此，EF为AB和CD的公垂线。
　　在Rt△BEF中，BE=1/2a，BF= /2a，因此，EF?=BF?-BE?=1/2a，那个EF= /2a，因此，EF为AB、CD的公垂线，AB到CD间距离为 /2a。
　　例1是典型的空间距离求解问题，其中牵涉到公垂线的证明问题，公垂线的证明较为简单，如例1所示，只要将AF、BF相连，即可根据相关公垂线定理证明EF就是AB和CD的公垂线，关于AB到CD间距离的计算，在得出公垂线后，就可以勾股定理计算得出。在考试中，很多题目都是该种类型题目变形组合而来，类似这种题目求解方式就是根据空间垂线的定理来判断和计算。
　　一般情况下，求解异面直线间距离的方法为：利用图形的性质找出公垂线，求出公垂线长度，如果两条异面之间中一条直线与另一条直线平面平行，就可以转换为直线到平面的距离，如果异面直线在了两个相互平行的平面之中，就可以转化为求平面间的距离。除此以外，要让学生明确三垂线的定理，关于三垂线的应用，关键就是找出平面垂线，在教学过程中，要引导学生学会转变思维，从不同的角度分析和理解问题，对于空间距离的计算来说，有两个难点，即找和计算，为了突破这两个难点，在课堂上要重点训练学生学会计算点到平面和点到直线的距离，只要学生可以掌握这两种计算方法，那么其他的计算也能够迎刃而解。
　　例2 图2多面体是由底面ABCD长方体被截面AEC1F截面得到，AB=4，BC=2，BE=1，CC1=3，求BF长度；点C到AEC1F的距离。
　　图2
　　求解方式：经E作EF∥BC，交CC1于H，那么EH∥AD，CH=BE=1，EH=AD
　　∵C1H=DF=2，∴ C1EH= FAD，Rt△ADF Rt△EHC1
　　∵DF=C1H=2，∴BF=
　　延长C1E与CB相交于G，连接AG，那么平面AEC1F与平面ABCD相交于AG，经过点C作CM⊥AG，连接C1M，根据三垂定理可以得出，AG⊥C1M，因此，平面AEC1F⊥C1MC，在Rt△C1CM中，经过点C作CQ⊥MC1，那么CQ长度就是C到AEC1F的距离。
　　，那么BG=1，AG= ，
　　GAB= MCG，那么CM=3cosMCG=3cosGAB= ，
　　∴CQ
　　例2是一道典型的空间立体几何问题，求解起来也比例1 要复杂，但是，只要做出平行线，并根据三垂线定理也可以一目了然的计算出结果，这类题目的解题策略就是“化繁为简”，只要经E作EF∥BC，交CC1于H，延长C1E与CB相交于G，连接AG，那么就可以构成一个平面，再利用余弦定理、勾股定理就可以逐步得到C到AEC1F的距离。
　　在求空间距离时需要注意三个问题，首先要遵循一作二证三计算的步骤，其次，要利用转化的概念求出面面和线面之间的具体；在计算过程中的重点和难点就是在“一作”上，即作出异面直线的公垂线段，由于这种方法对学生的基本功要求较高，因此，可以教学生利用转化法来求解空间距离。关于两点间距离的计算，可以使用距离公式来计算，如果图形特殊，则可以建立好坐标系，作出两点坐标，带入公式即可得出结果。在计算点到直线距离时，一般的解题方式是寻找和构造三角形，再利用等面积法来计算出点线之间的距离，寻找和构建的三角形应该一般选择等腰三角形、等边三角形、直角三角形等，关节的求解步骤就是要计算出三角形的面积，在计算出面积后，就可以使用等面积法来计算出需求的结果。