应用型本科院校中《复变函数》教学浅析
　　[摘 要]本文探讨了复变函数论的各种应用,包括解析函数的应用,留数定理的应用,以及函数复变换的应用,并指出在实际教学中应加强复变函数论的应用意义上的教学,提高学生学习这门课的兴趣.
　　[关键词]解析函数;留数定理;复变换
　　复变函数的理论基础是在19世纪奠定的.它是一门古老且富有生命力的学科,既是数学系的专业核心必修课程,又是工科院系普遍开设的一门课程.复变函数论不仅是我们所学实变函数微积分理论的推广,而且作为一种强有力的工具,已经被广泛应用于自然科学的众多领域,如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制理论等等.有很多复杂的计算就是以复变函数作为工具来解决的,但现行的有关教材对这个方面涉及较少.笔者在教学实践中发现不少学生在学习完复变函数论后仍存在困惑,会产生诸如"复变函数论究竟有什么应用"之类的问题.因此有必要对此做一个较为深入的探讨.
　　1 解析函数的应用定义
　　1 如果函数w=f(z)在区域D 内可微,则称f(z)为区域D 内的解析函数.
　　1.1 流量与环量的表示设流体在z平面上某一区域D 内流动→v(z)=p+qi是在点z∈D 处的流速,其中p=p(x,y),q=q(x,y)分别为→v(z)的水平及垂直分速,并且假设它们都是连续的.
　　考查流体在单位时间内流过以A 为起点,B 为终点的有向曲线γ 一侧的流量.以Nγ表示单位时间内流过γ 的流量,则Nγ =∫γ pdy(ds -qddxs)ds=∫γ-qdx+pdy(1)在流体力学中,还有一个重要的概念,即流速的环量.它定义为,流速在曲线γ上的切线分速,沿着该曲线的积分,以Γγ表示.于是Γγ =∫γ pdx(ds +qddys)ds=∫γpdx+qdy (2)
　　1.2 无源、漏的无旋流动
　　假设在流动过程中没有流体自D 内任何一处涌出或者漏掉.用术语来说,即D 内无源、漏.在流体力学中,对于无旋流动的研究是很重要的,这里它可以定义为Γc=0,只要c及其内部均含于D.
　　这样,如果流体在D 内作无源、漏的无旋流动,其充要条件为∫c→v(z)dz =0 (3)只要c及其内部均含于D.
　　由此即知无源、漏的无旋流动的特征是→v (z)在该流动区域D 内解析.这       也可以看成柯西积分定理的物理意义.
　　1.3 在电场中的应用
　　在平面电场中,电通φ 和电位ψ 都是调和函数,而且电力线φ=k1和等位线ψ=k2互相正交.这种性质正好和一个解析函数的实部和虚部所具有的性质相符合.因此,在研究平面电场时,常将电场的电通φ 和电位ψ 分别看作一个解析函数的实部和虚部,而将它们合为一个解析函数进行研究[1].这种由电通作实部,电位作虚部组成的解析函数f(z)=φ(x,y)+iψ(x,y) (4)称为电场的复电位.
　　如果不是利用解析函数作为研究电场的工具,则研究电场的电通和电位是孤立进行的,看不出它们之间的联系,在研究过程中也无一定的方法可循.
　　如果使用解析函数,在这些缺点都可以克服,而且计算起来亦较简单.反过来,如果知道了一个平面电场的复电位,则通过对复电位的实部和虚部的研究,便可得出电场的分布情况.
　　2 留数定理的应用
　　留数定理是复变函数积分中的一个重要定理,在复变函数理论的发展和应用中都有重要意义.由留数定理:若函数f(z)在回路L 所围区域D 内除有限个孤立奇点zj(j=1,2,…n)外解析,则有∫Lf(z)dz =2πiΣ nj=1Res z=zjf(z) (5)其中Res z=zjf(z)为f(z)在奇点zj的留数.
　　留数定理将积分归结为被积函数在周线所围区域上各奇点的留数之和.在学习了电磁学中的静电场高斯定理、磁场的安培环路定理之后,会产生一个疑问:以前的这些定理跟留数定理之间好像有什么共同点,两者之间会有怎样的联系?下面用留数定理对一些重要的电磁学定理,如安培环路定理做一个推导[2].
　　考虑一无限长载流直导线的磁场,设流过无限长导线的电流为I,电流方向垂直纸面向外.由电磁学我们知道,空间磁感应强度矢量为→B =μ0→ Ik/2πr (6)其中r为以导线上各点为原点的极径,→k 为磁感应强度方向的单位矢.在直角坐标系中→B 可以分解为→ Bx =-μ0I2π· yx2+y2 (7)→ By =μ0I2π· xx2+y2 (8)在此我们可以构造下面的复数场B(z)=By +iBx =μ0I2πx-iy(x2-y2)=μ0I2π· 珔zz·珔z =μ0I2π·1z(9)z=0是函数B(z)在有限奇点的唯一奇点,且为单极点,根据留数定理有∫LB(z)dz =2πi Res z=0B(z)=iμ0I (10)又∫LB(z)dz =∫L(By +iBx)d(x+iy)=∫L(Bydx-Bxdy)+i∫L(Bxdx+Bydy)(11)而∫L→B·→ dl=∫L(Bxdx+Bydy) (12)比较(10     牘 ?)(11)(12)三式可知∫L(Bydx-Bxdy)=0 (13)∫L(Bxdx+Bydy)=∫L→B·→ dl=μ0I (14)如果回路中包围有n 个电流源,则与上面的推导过程类似,我们可以把(14)式拓展成为∫L→B·→ dl=μ0Σ nk=1Ik (15)此即为电磁学中的安培环路定理.这种推导方法比较简单,避免了电磁学中比较繁杂的积分过程.
　　3 函数复变换的应用
　　函数的复变换是将两个有关系的变量,采用复变函数的形式联系起来,利用复变函数的特点帮助我们讨论相关问题.
　　3.1 在微观经济中的应用
　　生产函数的复变换是以复变函数的基本复变方法论为基础的,这就为研究线性生产函数的复变换提供了坚实的理论基础.柴维切夫在上个世纪60年代中后期引入复变数学在分析经济生产过程中的建模与应用的理论基础.谢约多奇科夫研究了线性复变生产函数以及经典生产函数实系数复变化在微观生产领域的实证检验[3][4].
　　生产的产出可以由许多不同变量组成,但是它的最一般的构成是由两部分:生产产量和生产成本.
　　这样生产的产出就可以采用复变量的形式,用复变形式把生产产量和生产成本联系起来Qt+iCt,这里Qt是产出,Ct是生产成本.用两个复变量可以建立如下功能函数关系,Qt+iCt=F(Kt+iLt),在这里只考虑复变线性的函数,这是一个复变生产函数的一种特殊情况,其中指数是一次幂的形式.在某些情况下,这种模式可以用于经济分析中,但是它不能被认为是普遍的.更广泛的适用于许多情况的是更复杂的线性函数形式,即:
　　Qt+iCt = (b0+ib1)(Kt+iLt) (16)如果对公式(16)进行打开括号数学运算,得到实部和虚部的形式:
　　Qt+iCt = (b0+ib1)(Kt+iLt)Qt+iCt =b0Kt-b1Lt+i(b0Lt+b1Kt)(17)其中方程的实部为Qt=b0Kt-b1Lt,而虚部为Ct=b0          Lt+b1Kt,事实上从获得和付出的相对价值而言就可以决定生产的利润,如果Qt为收入,Ct为生产成本,这样我们得到:
　　Qt-Ct = (b0Kt-b1Lt)-(b0Lt+b1Kt)(18)3.2 在地图投影中的应用高斯投影、墨卡托投影和等角圆锥投影是地图投影中最为常用的三种等角投影.鉴于复变函数与等角投影之间存在着天然联系,利用复变函数表示等角投影具有简单、方便、准确的优点,可以摆脱复杂繁琐的实数运算[5-6].
　　3.2.1 高斯投影正反解的复变函数表示
　　高斯投影正反解的复变函数表示可由子午线弧长正反解公式作复数域开拓后得到.通过引入等量纬度反解展开式,导出了子午线弧长和等量纬度间变换的直接展开式,并将其拓展至复数域,建立了高斯投影正反解的非迭代复变函数表示模型.
　　3.2.2 墨卡托投影正反解的复变函数表示
　　记zM=xM +iyM为墨卡托投影纵横坐标组成的复变量.墨卡托投影的正解公式为xM =r0q,yM =r0l { .
　　(19)式中r0 = acosB0槡1-e2sin2B0为圆柱半径,B0为基准纬度.
　　由式(19)可得墨卡托投影正解的复变函数表达式为zM =xM +iyM =r0(q+il)=r0ω (20)式(20)稍加变形可得墨卡托投影正解的复变函数表达式为ω =q+il=xM +iyMr0=zMr0(21)
　　3.2.3 等角圆锥投影正反解的复变函数表示
　　记zC=xC+iyC为等角圆锥投影纵横坐标组成的复变量.等角圆锥投影的正解公式为xC =ρs-ρcosδ,yC =ρsinδ { .
　　(22)式中常数ρs为该投影下制图区域最低纬度的投影半径;ρ和δ 由下式确定:
　　ρ=Cexp(-αq),δ=al { .
　　(23)式中C 和α 均为投影常数;exp(-αq)=e-αq1 ,e1=2.718 281 828为自然对数的底.
　　由式(22)和式(23)可得等角圆锥投影正解的复变函数表达式为zC=xC+iyC=ρs-ρ(cosδ-isinδ)=ρs-Cexp(-αq)exp(-iαl)=ρs-Cexp[-α(q+il)]=ρs-Cexp(-αω). (24)式(24)稍加变形,可得等角圆锥投影反解的复变函数表达式为ω =q     +il=1α[lnC-ln(ρs-xC -iyC)]
　　(25)4 结束语
　　复变函数论具有明确的实际应用,这些应用不仅在物理相关专业里,还出现在经济学、地图测绘学等等.在今后的教学中,不能仅仅停留在复变函数论的数学计算教学中,可以让学生清楚知道这些应用,使他们产生学习的兴趣与动力.